İşlem
İŞLEMHerhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A. TANIM
A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
|
İşlemler; |
gibi simgelerle gösterilir.
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİA kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği" (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği" (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.
3. Birleşme Özeliği" (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği işleminin etkisiz elemanı e olsun.
p
a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
|
• Birim elemanın tersi kendisine eşittir. • Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir. |
6. Dağılma Özeliği
" a, b, c Î A için,
a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
|
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. |
7. Yutan Eleman Özeliği" x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
|
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir. |
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde 
işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
|
Ü |
b |
|
Ü |
Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi |
|
Ü |
Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, |
|
Ü |
Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan |
|
Ü |
Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır. |
|
işlemine göre düzenlenmiştir.
D. MATEMATİK SİSTEMLERA, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.
1. Tanım
2. GrupA ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
-
A, « işlemine göre kapalıdır.
-
A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
-
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
-
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
|
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur. |
3. Halka
-
(A, D) sistemi değişmeli gruptur.
-
A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
-
« işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
|
Ü |
« işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır. |
|
Ü |
« işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir. |