Mantık
MANTIK
Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere “önerme” denir.
Doğru luk değeri aynı olan önermelere denk ya da eşdeğer önermeler denir. P ve q denk iki
önerme ise bu denkliği p º q biçiminde gösteririz.
Bir p önermesinin sonuna “değil” kelimesi getirerek hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde
edilen yeni önermeye p önermesini olumsuzu (değili) denir.
En az iki önermenin “veya” , “ve” , “ise” , “ancak ve ancak” gibi bağlaclardan en az birisi ile
birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere “bileşik önermeler” denir.
P ile q önermelerinden oluşan “p v q” bileşik önermesi, p ile q önermelerinden az biri doğru iken
doğru , p ile q önermelerinden her ikisi de yanlış iken yanlıştır.
p ve q önermelerinden oluşan “p Ùq” bileşik önermesi , p ile q önermelerinden her ikisi
doğru iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır.
Ù ve Ú Bağlaclarına Ait Özellikler
Tek Kuvvet Özelliği
pÚpºp pÙpºp
Değişme Özelliği
pÚqºqÚp pÙqºqÙp
Birleşme Özelliği
pÚ(qÚr) º(pÚq)Úr
pÙ(qÙr) º(pÙq)Ùr
Dağılma Özelliği
a) pÚ(qÙr) º(pÚq)Ù(pÚr)
b) (pÙq)Úr º(pÚr) Ù(qÚr)
c) pÙ(qÚr) º(pÙq)Ú(pÙr)
d) (pÚq)Ùr º(pÙr)Ú(qÙr)
De Morgan Kuralı
(pÚq)'ºp'Ùq'
(pÙq)'ºp'Úq'
Sadeleştirmeler
a) pÙ1ºp e)pÙp'º0
b) pÚ1º1 f)pÚp'º1
c) pÙ0º0 g)pÙ(pÚq)ºp
d) pÚ0ºp h)pÚ(pÙq)ºp
Bir bileşik önermenin sonucu kendisini meydana getiren önermelerin bütün değerleri için 1
oluyorsa, bu bileşik önermeye totoloji; 0 oluyorsa, bu bileşik önermeye çelişki denir.
pÙq pÚq
“=>” bağlacı ile kurulan “p =>q” bileşik önermesine “şartlı önerme” denir. p=>q bileşik önermesi
p nin doğru , q nun yanlış olduğu durumda yanlış , diğer durumlarda doğru dur.
p=>q bileşik önermesi verilsin.
· q=>p bileşik önermesine p=>q bileşik önermesinin karşıtı ,
· p'=>q' bileşik önermesine p=>q bileşik önermesinin tersi ,
· q'=>p' bileşik önermesine p=>q bileşik önermesinin karşıt tersi denir.
“=>” Bağlacının Özellikleri
a) p=>qºq'=>p'
b) p=>qºp'Úq
c) (p=>q)'ºpÙq'
d) (p=>(qÙr))º((p=>q)Ù(p=>r))
(p=>(qÚr))º((p=>q)Ú(p=>r))
e) p=>pº1 p=>0ºp'
p=>p'ºp' 1=>pºp
0=>pº1 p=>1º1
“Û” bağlacı ile kurulan “pÛq” bileşik önermesine “iki yönlü şartlı önerme” denir. pÛq bileşik
önermesi p ile q önermeleri aynı değeri aldığında doğru , farklı değeri aldığında yanlıştır.
“Û” Bağlacının Özellikleri
a) pÛqºqÛp
b) pÛqº((p=>q)Ù(q=>p))
c) (pÛq)'º p'Ûqº pÛq'
d) pÛqº p'Ûq'
e) pÛpº1 pÛ1ºp
pÛp'º0 pÛ0ºp'
Doğru luğu nedenleri araştırılmadan sezgi yoluyla kabul edilen matematik ifadelerine “aksiyom”
denir.
p ve q önermeleri için p=>qº1 ise p, q yu “gerektiriyor” denir. Bu durumda p=>q bileşik
önermesine gerektirme denir. p, q için yeter şart; q, p için gerek şarttır.
P ve q önermeleri için pÛqº1 ise p, q yü “çift gerektiriyor” denir. Bu durumda pÛq bileşik
önermesine “çift gerektirme” denir. pÛq gerektirmesinde p, q yu gerektirir , q da p yi gerektirir.
p ve q birbirleri için gerek ve yeter şarttır.
p=>q bir gerektirme olsun. Bu gerektirme de pº1 ise p=>q gerektirmesine “teorem” denir.
Aynı şekilde , pÛq çift gerektirmesinde pº1 ise pÛq çift gerektirmesine de “teorem” denir.