Fonksiyonlar
FONKSİYONA ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
A. TANIM
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
|
Ü |
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. |
|
Ü |
Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
|
Ü |
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir. |
|
Ü |
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLERA Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
-
(f + g) : A Ç B ®
, (f + g)(x) = f(x) + g(x) -
(f – g) : A Ç B ®
, (f – g)(x) = f(x) – g(x) -
(f × g) : A Ç B ®
, (f × g)(x) = f(x) × g(x) -
"x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
-
c Î
olmak üzere,× f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.(c
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİBir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
1. Bire Bir Fonksiyon
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
|
Ü |
s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,
|
2. Örten FonksiyonGörüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
|
Ü |
f : A ® B f(A) = B ise, f örtendir. |
| Ü |
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı, m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir. |
3. İçine FonksiyonÖrten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
|
Ü |
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. |
|
Ü |
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. |
4. Birim (Etkisiz) FonksiyonHer elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
|
Ü |
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. |
5. Sabit FonksiyonTanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
|
Ü |
"x Î A ve c Î B için, f : A ® B f(x) = c ise, f sabit fonksiyondur. |
|
Ü |
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
|
Ü |
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. |
| Ü | Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYONf : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONf : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYONf : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
|
|
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için, y = f(x) ise, x = f–1(y) dir. Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.
|
|
(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir. |
|
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir. |
|
f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir. |
|
f(a) = b ise, f–1(b) = a dır. f–1(b) = a ise, f(a) = b dir. |
|
|
|
Ü |
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği |
| Ü |
|
| Ü |  olmak üzere,
|
G. BİLEŞKE FONKSİYONf : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
|
Ü |
(gof)(x) = g[f(x)] tir. |
|
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. Bu durumda, fog ¹ gof dir. Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. |
|
Ü |
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. |
|
Ü |
I birim fonksiyon olmak üzere, foI = Iof = f ve f–1of = fof–1 = I dır. |
|
Ü |
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere, (fog)–1 = g–1of–1 ve (fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir. |
|
Ü |
(fog)(x) = h(x) ise, f(x) = (hog–1)(x) dir. ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir. |
|
• f–1 (x) = f(x) tir. • (fof) (x) = x • (fofof) (x) = f(x) • (fofofof) (x) = x ... |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİBir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
|
|
(a, b) Î f olduğundan f(a) = b dir. Ayrıca, f–1(b) = a dır.
|
|
Ü |
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır. |
